PRESENTAZIONE

Benvenuto in Tutorial sulla Teoria degli Insiemi.

Vi troverai esposta, in forma facilmente accessibile (si presuppongono la conoscenza elementare della logica del primo ordine e della teoria degli insiemi di base) le scoperte di K. Gödel e J.P. Cohen relative alla dimostrazione di consistenza relativa dell’assioma di scelta e dell’ipotesi generalizzata del continuo, oltre alla loro non dimostrabilità nella teoria standard ZF. Risultati ottenuti dal grande logico il primo, da J.P. Cohen, di recente scomparso, il secondo.

Il punto di vista di K. Gödel

“Naturalmente, se la congettura di Cantor viene interpretata in tal modo, supponendo che gli assiomi siano coerenti, essa dà luogo a priori a tre possibilità: è dimostrabile, refutabile o indecidibile. La terza alternativa (che è solo una formulazione precisa della precedente congettura secondo cui le difficoltà del problema probabilmente non sono puramente matematiche) è la più probabile. Cercare di dimostrarla costituisce forse, attualmente, il modo più promettente di affrontare il problema. Si è già ottenuto un risultato in tal senso, cioè che la congettura di Cantor non è refutabile in base agli assiomi della teoria degli insiemi, se questi sono coerenti.”

(K. Gödel, “Che cos’è il problema del continuo di Cantor?”)

Il punto di vista di J.P. Cohen

“Il punto di vista che presentiamo concepisce il continuo come un insieme incredibilmente ricco che ci è dato da un solo nuovo forte assioma e che non può mai essere raggiunto da nessun processo di costruzione per aggiunte successive. Forse le generazioni future vedranno il problema con maggiore chiarezza e si sapranno esprimere in modo più eloquente.”

(Paul J. Cohen, “La teoria degli insiemi e l’ipotesi del continuo”)